Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di integrali di funzioni razionali di seno e coseno. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Possiamo risolvere l'integrale $\int \frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ applicando il metodo di sostituzione di Weierstrass (noto anche come sostituzione del semiangolo tangente) che converte un integrale di funzioni trigonometriche in una funzione razionale di $t$ impostando la sostituzione
Quindi
Sostituendo l'integrale originale si ottiene
Applicare la formula: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, dove $a=1$, $b=3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ e $a/bc/f=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$
Applicare la formula: $-\frac{b}{c}$$=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$, dove $b=1-t^{2}$ e $c=1+t^{2}$
Applicare la formula: $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, dove $a=3$, $b=-1+t^{2}$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=3+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$ e $b/c=\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$
Applicare la formula: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, dove $a=2$, $b=-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ e $b/c=\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}$
Applicare la formula: $\frac{a}{a}$$=1$, dove $a=1+t^{2}$ e $a/a=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}$
Semplificare
Applicare la formula: $\int \frac{n}{a+b}dx$$=n\int \frac{1}{a+b}dx$, dove $a=-1$, $b=t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)$ e $n=2$
Moltiplicare il termine singolo $3$ per ciascun termine del polinomio $\left(1+t^{2}\right)$
Applicare la formula: $a+b$$=a+b$, dove $a=3$, $b=-1$ e $a+b=t^{2}+3+3t^{2}-1$
Combinazione di termini simili $t^{2}$ e $3t^{2}$
Semplificare
Applicare la formula: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, dove $a=2$, $b=t^{2}$ e $n=\frac{1}{2}$
Risolvere l'integrale applicando la sostituzione $u^2=2t^{2}$. Quindi, prendere la radice quadrata di entrambi i lati, semplificando si ha
Differenziare entrambi i lati dell'equazione $u=\sqrt{2}t$
Trovare la derivata
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, dove $x=t$
Ora, per riscrivere $dt$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $dt$ nell'equazione precedente
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=u^2$
Applicare la formula: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, dove $a=2$, $b=2$, $ax/b=2\cdot \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)\int \frac{1}{u^2+1}du$, $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $x/b=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}$
Dopo aver sostituito tutto e semplificato, l'integrale dà come risultato
Applicare la formula: $\int \frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, dove $b=1$, $x=u$ e $n=1$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\sqrt{2}t$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\sqrt{2}t$
Sostituire $t$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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