Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de weierstrass substitution. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{1-\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}dx$ en appliquant la méthode de substitution de Weierstrass (également connue sous le nom de substitution du demi-angle tangent) qui convertit une intégrale de fonctions trigonométriques en une fonction rationnelle de $t$ en établissant la substitution suivante
D'où
En substituant l'intégrale d'origine, on obtient
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, où $a=1$, $b=1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ et $a/bc/f=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$
Appliquer la formule : $-\frac{b}{c}$$=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$, où $b=1-t^{2}$ et $c=1+t^{2}$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$$=\frac{a+c}{b}$, où $a=-1+t^{2}$, $b=1+t^{2}$ et $c=2t$
Appliquer la formule : $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, où $a=1$, $b=-1+t^{2}+2t$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=1+\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$ et $b/c=\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$
Appliquer la formule : $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, où $a=2$, $b=2t^{2}+2t$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ et $b/c=\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}$
Appliquer la formule : $\frac{a}{a}$$=1$, où $a=1+t^{2}$ et $a/a=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}$
Factoriser le dénominateur par $2$
Annuler le facteur commun de la fraction $2$
Simplifier
Factoriser le polynôme $t^{2}+t$ par son plus grand facteur commun (GCF) : $t$
Réécrire l'expression $\frac{1}{t^{2}+t}$ à l'intérieur de l'intégrale sous forme factorisée
Réécrire la fraction $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en $2$ fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions
Trouvez les valeurs des coefficients inconnus : $A, B$. La première étape consiste à multiplier les deux côtés de l'équation de l'étape précédente par $t\left(t+1\right)$
Multiplication de polynômes
Simplifier
En attribuant des valeurs à $t$, nous obtenons le système d'équations suivant
Procédez à la résolution du système d'équations linéaires
Réécriture sous forme de matrice de coefficients
Réduire la matrice originale à une matrice identité en utilisant l'élimination gaussienne
L'intégrale de $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en fractions décomposées est égale à
Réécrire la fraction $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en $2$ fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions
Développez l'intégrale $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}\right)dt$ en intégrales $2$ à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{-1}{t+1}dt$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $u$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $t+1$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $u$ et assignons-la à la partie choisie
Différencier les deux côtés de l'équation $u=t+1$
Trouver la dérivée
La dérivée d'une somme de deux fonctions ou plus est la somme des dérivées de chaque fonction.
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=1$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, où $x=t$
Maintenant, pour réécrire $dt$ en termes de $du$, nous devons trouver la dérivée de $u$. Nous devons calculer $du$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
En substituant $u$ et $dt$ dans l'intégrale et en simplifiant
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $x=t$ et $n=1$
L'intégrale $\int\frac{1}{t}dt$ se traduit par : $\ln\left(t\right)$
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $x=u$ et $n=-1$
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $t+1$
L'intégrale $\int\frac{-1}{u}du$ se traduit par : $-\ln\left(t+1\right)$
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
Remplacez $t$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
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